Matematyka starożytnego Egiptu

3. Mnożenie czyli sprytne dodawanie

3.1. Znowu mnóstwo kresek

Jak widać, dodawanie w systemie zapisu używanym w starożytnym Egipcie było równie proste jak obecnie, tylko że z braku cyfr często trzeba było rysować wiele jednakowych znaków. Zupełnie inaczej wygląda sprawa z mnożeniem. Przemnożenie np. liczby 37 przez 2 to to samo, co dodanie do siebie 37+37, więc mnożenie przez dwa było równie łatwe, co dodawanie. Jak jednak poradzić sobie z mnożeniem, kiedy obie liczby są całkiem spore? Ile jest ryb w 16 koszach, jeśli każdy kosz mieści 27 ryb, teoretycznie można by było obliczać rysując siedemnaście razy symbole składające się na liczbę 27, a następnie grupując to wszystko... Niezbyt zachęcające!

Zaraz, zaraz, czy powiedzieliśmy, że mnożenie przez dwa jest łatwe? Egipcjanie skorzystali właśnie z tego faktu. Zauważmy, że do policzenia, ile jest 16×27, nie potrzeba powtarzać 16 razy rysunku liczby 27. Wystarczy zauważyć, że 16 = 8×2 = (4×2)×2 = ((2×2)×2)×2. Zamiast sumować elementy z szesnastu rysunków liczby 27 można równie dobrze wykonać cztery podwojenia. Podwojenia czyli zwykłe dodawania:

 27 +  27 =  54  (= 27× 2) dwa kosze ryb
 54 +  54 = 108  (= 27× 4) cztery kosze ryb
108 + 108 = 216  (= 27× 8) osiem koszy ryb
216 + 216 = 432  (= 27×16) szesnaście koszy ryb

Metodą podwajania, czyli dodawania takich samych liczb, uzyskaliśmy wynik mnożenia. Dobrze się złożyło, że mieliśmy przemnożyć przez 16, liczbę, która powstaje przez same podwojenia. A co zrobić w przypadku mnożenia przez inną liczbę?

Ćwiczenie

Wykonaj powyższe działania metodą egipską, używając hieroglifów.


3.2. Nieco trudniejsze mnożenie

Każdy z robotników powinien dostać miar zboża. Ilu miar zboża potrzebuje dla swoich pracowników nadzorca grupy  robotników?

W pierwszym rzędzie tabeli widzimy, że dla 1 robotnika potrzeba 13 miar zboża. Drugi rząd powstał przez podwojenie obu liczb z pierwszego rzędu. Wynika z niego, że dla 2 robotników potrzeba 26 miar zboża. W trzecim rzędzie mamy kolejne podwojenie – dla 4 robotników potrzeba 52 miary zboża. Czwarty rząd nie zawiera liczby robotników, bo służy tylko uporządkowaniu zapisu liczby 52 uzyskanej z prostego podwojenia symboli składajacych się na liczbę 26.

 
Ale przecież 4 robotników i 2 robotników i jeszcze 1 robotnik to razem 7 robotników, czyli tylu, dla ilu mamy zapewnić żywność! Skoro łączna liczba robotników jest taka, o jaką nam chodzi, to również łączna liczba miar zboża dla nich. W kolejnym wierszu zapisu przepisujemy po prostu wszystkie symbole miar zboża dla 1, 2 i 4 robotników. Na koniec w uzyskanej sumie zamieniamy dziesięć symboli jednostek na symbol dziesiątki. Otrzymany wynik brzmi: 9 dziesiątek oraz 1 jednostka, czyli 91. Jeśli każdy robotnik dostaje po 13 miar zboża, to dla 7 robotników potrzeba 91 miar zboża.

13 × 1 = 13
13 × 2 = 26
13 × 4 = 52
13 × 7 = 91

3.3. Mnóż jak Egipcjanie

Poprzednim razem też nam się trochę udało, bo 7 to suma kolejnych podwojeń: 1 + 1×2 + 1×2×2. A co zrobić w innych przypadkach? Weźmy przykład z większymi liczbami, które nie mają własności takiej jak 16 ani 7.

Nadzorca budowy postanowił za wzorową pracę nagrodzić rzemieślników, przyznając każdemu z nich po miar pszenicy. Ile miar pszenicy należy wydać ze spichlerza?

Szukamy zatem, ile to miar pszenicy: dla każdego z 23 ludzi po 27 miar? W starożytnym Egipcie przy obliczaniu iloczynu trzymano się metody podwajania liczb, połączonej z sumowaniem odpowiednich, pośrednich podwojonych liczb. Przyjrzyjmy się tabeli podwojeń:

 1     27
 2     54
 4    108
 8    216
16    432 

Dla jednej osoby — 27 miar, dla dwóch osób — 54 miary, dla czterech osób — 108 miar... Ponieważ 16+16=32 jest większe od 23, czyli liczby osób, które mają otrzymać ziarno, nie ma potrzeby obliczać kolejnego podwojenia, tyle podwojeń nam wystarczy.

Wybieramy wiersz, w którym w prawej kolumnie znajduje się największa liczbę nieprzekraczająca 23. Jest to 16. Znamy wynik mnożenia 27×16. Ale 16 jest mniejsze od 23, więc do całkowitego wyniku brakuje nam jeszcze pewnej liczby dwudziestek siódemek. Posłużymy się tym samym sposobem: czy poprzednia liczba w kolumnie, czyli 8, dodana do 16 nie przekroczy 23? 16+8=24, więc za dużo, ten wiersz pominiemy. Kolejna liczba to 4: 16+4=20, nie przekracza 23, więc ją bierzemy

 1     27
 2     54
 4    108 
 8    216
16    432 

Mamy już uzbierane:

27 × 16 = 432
27 ×  4 = 108
27 × 20 = 540

Po 27 miar zboża dla rzemieślnika daje dla 20 rzemieślników 540 miar zboża. Ponieważ 20 jest mniejsze od 23, do całkowitego wyniku brakuje zboża dla pozostałych 3 osób. Należy kontynuować tą samą metodą, zaczynając od możliwie największego wybierać kolejno z tablicy coraz mniejsze mnożniki, tak aby ich suma była wreszcie równa 23:

 1     27
 2     54 
 4    108 
 8    216
16    432 

Mamy już uzbierane:

27 × 16 = 432
27 ×  4 = 108
27 × 20 = 540

27 ×  2 =  54
27 × 22 = 594

Teraz został już tylko ostatni krok:

 1     27 
 2     54 
 4    108 
 8    216
16    432 
     23 = 16 + 4 + 2 + 1
27 × 23 = 27 × (16 + 4 + 2 + 1) = 432 + 108 + 54 + 27 = 621

Całość obliczeń można krótko zapisać w dwóch kolumnach:

    1    27 *
    2    54 *
    4   108 *
    8   216 
 + 16   432 *
   23   621

Ćwiczenia

  1. Wykonaj mnożenie 53×6 metodą egipską.
  2. Wykonaj mnożenie 41×49 metodą egipską.
  3. Kupiec sprzedał świątyni brązowych naczyń po debenów. Ile dostał za wszystkie? Obliczenia przeprowadź jak rachmistrz egipski, posługując się metodą egipską oraz zapisem hieroglificznym.